¿Qué es la relación?

Una relación [math] R [/ math] entre dos conjuntos [math] A [/ math] y [math] B [/ math] es solo un conjunto de pares ordenados de [math] A \ times B [/ math]. Por ejemplo, si tenemos [math] A = \ {1,2,3 \} [/ math] y [math] B = \ {4, 5, 6 \} [/ math], una relación entre ellos podría ser :
[mates]
R = \ {\ langle 1,4 \ rangle, \ langle 1, 5 \ rangle, \ langle 1, 6 \ rangle, \ langle 3, 6 \ rangle \}
[/mates]

La idea es que un elemento [math] a \ in A [/ math] está “relacionado” con un elemento [math] b \ in B [/ math] si [math] \ langle a, b \ rangle \ in R [ /mates]. Exactamente lo que significa “relacionado” depende de la relación real: puede modelar todo tipo de relaciones diferentes.

Las relaciones generalmente se escriben en forma de “infijo”: como un operador. Entonces [math] \ langle a, b \ rangle \ in R [/ math] se escribiría como [math] a R b [/ math]. Esto significa que a menudo nombramos nuestras relaciones como símbolos de operador como [math] <[/ math] o [math] \ equiv [/ math].

Muchas relaciones comunes actúan en un solo conjunto [math] A [/ math]; en este caso, contienen tuplas [math] \ langle a_1, a_2 \ rangle \ in A \ times A [/ math].

Ejemplos

Relaciones de equivalencia

Una relación común en un solo conjunto es una “relación de equivalencia”. Esto a menudo se escribe como [math] \ equiv [/ math] y generaliza la idea de igualdad. Las relaciones de equivalencia tienen que satisfacer las leyes que se esperan para la igualdad:
[mates]
\ begin {align}
& a \ equiv a & \ quad \ text {reflexivity} \\
& a \ equiv b \ Rightarrow b \ equiv a & \ quad \ text {symmetry} \\
& a \ equiv b \ land b \ equiv c \ Rightarrow a \ equiv c & \ quad \ text {transitivity} \\
\ end {align}
[/mates]

Una relación de equivalencia divide un conjunto en partes distintas donde cada elemento se encuentra exactamente en una parte. Un ejemplo específico sería la aritmética modular, como los números naturales equivalentes al mod 7, que se vería así:
[mates]
R = \ {\ langle 0, 7 \ rangle, \ langle 1, 8 \ rangle, \ langle 0, 14 \ rangle, \ ldots \}
[/mates]
(A menudo se escribe como [math] 0 \ equiv 7 (\ text {mod} \ 7) [/ math].)

Pedidos

Otra relación útil en un conjunto es un “orden”. Una relación de ordenación [math] \ le [/ math] es similar a una relación de equivalencia, excepto que tiene una ley de “antisimetría” en lugar de una ley de “simetría”:
[mates]
\ begin {align}
a \ le a & \ text {reflexivity} \\
a \ le b \ land b \ le a \ Rightarrow a = b & \ text {antisimetría} \\
a \ le b \ land b \ le c \ Rightarrow a \ le c & \ text {transitivity} \\
\ end {align}
[/mates]

Una relación de orden naturalmente generaliza la idea de “menor o igual que”. En general, nos gusta hablar de conjuntos ordenados, que son conjuntos equipados con una relación de pedido. Por ejemplo, podríamos hablar de [math] \ mathbb {N} [/ math] equipado con la relación habitual [math] \ le [/ math].

Si para cada [math] a, b \ in A [/ math] ya sea [math] a \ le b [/ math] o [math] b \ le a [/ math], llamamos a la relación un “orden total” ; De lo contrario, lo llamamos “orden parcial”.

Funciones

Una función [math] f: A \ to B [/ math] es una relación entre [math] A [/ math] y [math] B [/ math] con la restricción añadida de que cada elemento de [math] A [/ math] aparece exactamente en un par. Por ejemplo, la función [math] f (x) = x + 1 [/ math] sobre [math] \ mathbb {N} [/ math] sería:
[mates]
\ begin {align}
R = & \ {\ langle 0, 1 \ rangle, \ langle 1, 2 \ rangle, \ ldots \} \\
& \ {\ langle x, x + 1 \ rangle \ | x \ in \ mathbb {N} \}
\ end {align}
[/mates]

Considero que esta vista de las funciones es muy útil para comprender qué significa una función del conjunto vacío ([math] \ emptyset [/ math]). Esto es relevante porque [math] \ emptyset [/ math] es único al tener exactamente una función definida desde este a cada otro conjunto. Al considerar las funciones como relaciones, podemos darnos cuenta de que [math] f: \ emptyset \ to X [/ math] siempre es solo la relación vacía.

Generalización

Hasta ahora, todo lo que hablé involucraba relaciones “binarias”: unas compuestas de pares. Sin embargo, en su lugar, podría trabajar con relaciones que contienen tuplas de tamaño arbitrario, aunque estas aparecen con menos frecuencia que las relaciones binarias.